Задачи на запросы

Среди задач по программированию выделяют широкий класс задач, связанных с запросами. В таких задачах к некоторой структуре данных поступает набор запросов, на каждый из которых нужно вывести ответ. Среди задач на запросы самая классическая - задача RMQ (англ. Range Minimum Query - запрос минимума на отрезке). Впрочем, её мы разберём в другой лекции, а сейчас перейдём ко второй классической задаче - RSQ (англ. Range Sum Query - запрос суммы на отрезке). В этой задаче к массиву поступают запросы двух типов: запросы на модификацию элементов и на поиск суммы на заданном отрезке . Научимся просто решать эту задачу, если запросы на модификацию отсутствуют.

Префиксные суммы

Для решения задачи от нас требуется уметь быстро находить сумму на отрезке массива. Классические ограничения для такой задачи: , где - размер массива, а - количество запросов. При таких ограничениях сложность на запрос наивного решения слишком высока. Нужно уметь находить сумму быстрее.

В большинстве задач на запросы используется приём под названием предпросчёт. То есть ещё до начала поступления запросов нужно посчитать некоторый параметр, который поможет быстро на них отвечать. Этот принцип и лежит в основе префиксных сумм.

Идея префиксных сумм проста донельзя. Запишем сумму на отрезке в таком виде:

И заметим простой факт. Любой запрос можно преобразовать в два запроса и , где - сумма чисел от до , или сумма на префиксе . Но ведь мы можем просто предпросчитать для всех за элементарным ДП:

Реализация на C++:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int a[100000];
long long pref[100000];

void precalc() {
    pref[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i] = pref[i - 1] + a[i];
    }
}

long long query(int l, int r) {
    if (l > 0) {
        return pref[r] - pref[l - 1];
    } else {
        return pref[r];
    }
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

Этот приём может показаться очень простым, но он очень часто помогает при решении задач.

Префиксные суммы в матрицах

Префиксные суммы легко обобщаются на двухмерные, и даже многомерные массивы. Рассмотрим двухмерный случай.

Нам нужно уметь отвечать на запросы вида “найти сумму в прямоугольнике ”. Разложим его на следующие запросы на “префиксах”:

Матрица с квадратами, закрашенными разными цветами

Обозначим красный, зелёный, синий, и оранжевый цвета . Тогда предыдущая формула преобратает вид:

Сумма на “префиксе” в двухмерном варианте считается по похожим формулам:

Реализация для двухмерного варианта:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
int a[1000][1000];
long long pref[1000][1000];

void precalc() {
    pref[0][0] = a[0][0];

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i][0] = pref[i - 1][0] + a[i][0];
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        pref[0][i] = pref[0][i - 1] + a[0][i];
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            pref[i][j] = pref[i - 1][j] + pref[i][j - 1] - pref[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
}

//Для предотвращения выхода за границы матрицы
//приходится добавлять в расчёт дополнительные условия
long long query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return pref[x2][y2]
         - (x1 ? pref[x1 - 1][y2] : 0)
         - (y1 ? pref[x2][y1 - 1] : 0)
         + (x1 && y1 ? pref[x1 - 1][y1 - 1] : 0);
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

Операция XOR

XOR (англ. eXclusive OR - исключающее ИЛИ) - одна из основных побитовых операций. В математической нотации она обозначается . Она определена следующим образом:

То есть XOR двух битов равняется , если они совпадают, и , если отличаются.

Так как эта операция побитовая, при применении её к числам, она будет применяться отдельно к каждому биту:

Операция XOR разбирается в этой лекции из-за своего удивительного уникального свойства. Пусть . Тогда, все следующие утверждения верны:

То есть эта операция обратна сама себе.

Это свойство позволяет использовать её аналогично префиксным суммам. Пусть нам нужно найти XOR всех чисел на отрезке . Просто запишем его в виде:

Префиксные XOR’ы считаются абсолютно так же, как префиксные суммы. Изменив несколько символов в реализации запросов суммы на отрезке, получаем реализацию запросов XOR на отрезке:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int a[100000];
long long pref[100000];

void precalc() {
    pref[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i] = pref[i - 1] ^ a[i];
    }
}

long long query(int l, int r) {
    if (l > 0) {
        return pref[r] ^ pref[l - 1];
    } else {
        return pref[r];
    }
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

В принципе, идея функций на префиксе применима к любой обратимой функции, но чаще всего она используется с суммой или XOR.