Задачи на запросы

Среди задач по программированию выделяют широкий класс задач, связанных с запросами. В таких задачах к некоторой структуре данных поступает набор запросов, на каждый из которых нужно вывести ответ. Среди задач на запросы самая классическая - задача RMQ (англ. Range Minimum Query - запрос минимума на отрезке). Впрочем, её мы разберём в другой лекции, а сейчас перейдём ко второй классической задаче - RSQ (англ. Range Sum Query - запрос суммы на отрезке). В этой задаче к массиву поступают запросы двух типов: запросы на модификацию элементов и на поиск суммы на заданном отрезке \([l; r]\). Научимся просто решать эту задачу, если запросы на модификацию отсутствуют.

Префиксные суммы

Для решения задачи от нас требуется уметь быстро находить сумму на отрезке массива. Классические ограничения для такой задачи: \(1 \le N, M \le 10^5\), где \(N\) - размер массива, а \(M\) - количество запросов. При таких ограничениях сложность \(O(N)\) на запрос наивного решения слишком высока. Нужно уметь находить сумму быстрее.

В большинстве задач на запросы используется приём под названием предпросчёт. То есть ещё до начала поступления запросов нужно посчитать некоторый параметр, который поможет быстро на них отвечать. Этот принцип и лежит в основе префиксных сумм.

Идея префиксных сумм проста донельзя. Запишем сумму на отрезке \([L; R]\) в таком виде:

\[\sum\limits_{i = L}^R a_i = \sum\limits_{i = 0}^R a_i - \sum\limits_{i = 0}^{L - 1} a_i\]

И заметим простой факт. Любой запрос \(sum(l, r)\) можно преобразовать в два запроса \(\mathit{pref}(r)\) и \(\mathit{pref}(l - 1)\), где \(\mathit{pref}(x)\) - сумма чисел от \(a[0]\) до \(a[x]\), или сумма на префиксе \(x\). Но ведь мы можем просто предпросчитать \(\mathit{pref}\) для всех \(x\) за \(O(N)\) элементарным ДП:

\[\mathit{pref}[0] = a[0] \\ \mathit{pref}[i] = \mathit{pref}[i - 1] + a[i]\]

Реализация на C++:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int a[100000];
long long pref[100000];

void precalc() {
    pref[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i] = pref[i - 1] + a[i];
    }
}

long long query(int l, int r) {
    if (l > 0) {
        return pref[r] - pref[l - 1];
    } else {
        return pref[r];
    }
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

Этот приём может показаться очень простым, но он очень часто помогает при решении задач.

Префиксные суммы в матрицах

Префиксные суммы легко обобщаются на двухмерные, и даже многомерные массивы. Рассмотрим двухмерный случай.

Нам нужно уметь отвечать на запросы вида “найти сумму в прямоугольнике \((x_1, y_1, x_2, y_2)\)”. Разложим его на следующие запросы на “префиксах”:

\[sum(x_1, y_1, x_2, y_2) = \\ = sum(0, 0, x_2, y_2) - sum(0, 0, x_1 - 1, y_2) - sum(0, 0, x_2, y_1 - 1) + sum(0, 0, x_1 - 1, y_1 - 1)\]

Матрица с квадратами, закрашенными разными цветами

Обозначим красный, зелёный, синий, и оранжевый цвета \(R, G, B, O\). Тогда предыдущая формула преобратает вид:

\[O = RGBO - RG - RB + R\]

Сумма на “префиксе” в двухмерном варианте считается по похожим формулам:

\[\mathit{pref}[0][0] = a[0] \\ \mathit{pref}[0][i] = \mathit{pref}[0][i - 1] + a[0][i] \\ \mathit{pref}[i][0] = \mathit{pref}[i - 1][0] + a[i][0] \\ \mathit{pref}[i][j] = \mathit{pref}[i - 1][j] + \mathit{pref}[i][j - 1] - \mathit{pref}[i - 1][j - 1] + a[i][j]\]

Реализация для двухмерного варианта:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, m;
int a[1000][1000];
long long pref[1000][1000];

void precalc() {
    pref[0][0] = a[0][0];

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i][0] = pref[i - 1][0] + a[i][0];
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        pref[0][i] = pref[0][i - 1] + a[0][i];
    }

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            pref[i][j] = pref[i - 1][j] + pref[i][j - 1] - pref[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    }
}

//Для предотвращения выхода за границы матрицы
//приходится добавлять в расчёт дополнительные условия
long long query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return pref[x2][y2]
         - (x1 ? pref[x1 - 1][y2] : 0)
         - (y1 ? pref[x2][y1 - 1] : 0)
         + (x1 && y1 ? pref[x1 - 1][y1 - 1] : 0);
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

Операция XOR

XOR (англ. eXclusive OR - исключающее ИЛИ) - одна из основных побитовых операций. В математической нотации она обозначается \(\oplus\). Она определена следующим образом:

\[0 \oplus 0 = 0 \\ 1 \oplus 1 = 0 \\ 0 \oplus 1 = 1 \\ 1 \oplus 0 = 1\]

То есть XOR двух битов равняется \(0\), если они совпадают, и \(1\), если отличаются.

Так как эта операция побитовая, при применении её к числам, она будет применяться отдельно к каждому биту:

\[46 \oplus 35 = 101110_2 \oplus 100011_2 = 001101_2 = 1101_2 = 13\]

Операция XOR разбирается в этой лекции из-за своего удивительного уникального свойства. Пусть \(a \oplus b = c\). Тогда, все следующие утверждения верны:

\[a \oplus b = c \\ a \oplus c = b \\ b \oplus a = c \\ b \oplus c = a \\ c \oplus a = b \\ c \oplus b = a\]

То есть эта операция обратна сама себе.

Это свойство позволяет использовать её аналогично префиксным суммам. Пусть нам нужно найти XOR всех чисел на отрезке \([L; R]\). Просто запишем его в виде:

\[a_L \oplus a_{L+1} \oplus \ldots \oplus a_R = (a_0 \oplus a_1 \oplus \ldots \oplus a_R) \oplus (a_0 \oplus a_1 \oplus \ldots \oplus a_{L - 1})\]

Префиксные XOR’ы считаются абсолютно так же, как префиксные суммы. Изменив несколько символов в реализации запросов суммы на отрезке, получаем реализацию запросов XOR на отрезке:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int a[100000];
long long pref[100000];

void precalc() {
    pref[0] = a[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        pref[i] = pref[i - 1] ^ a[i];
    }
}

long long query(int l, int r) {
    if (l > 0) {
        return pref[r] ^ pref[l - 1];
    } else {
        return pref[r];
    }
}

int main() {
    cin >> n;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    precalc();

    //Можем вводить запросы и отвечать на них.
}

В принципе, идея функций на префиксе применима к любой обратимой функции, но чаще всего она используется с суммой или XOR.